Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為A₁B₁和B₁C₁的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值是    （　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連接B₁E，B₁F，則∠EB₁F為直線(xiàn)AM與CN所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a，然后利用余弦定理求解．

解答 解：如圖，

取AB中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連接B₁E，B₁F，
則四邊形AEB₁M，B₁FCN為平行四邊形，
∴AM∥B₁E，CN∥B₁F，
∴∠EB₁F為直線(xiàn)AM與CN所成角（或補(bǔ)角），
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則BE=BF=a，EF=$\sqrt{2}a$，${B}_{1}E={B}_{1}F=\sqrt{5}a$，
∴cos∠EB₁F=$\frac{（\sqrt{5}a）^{2}+（\sqrt{5}a）^{2}-（\sqrt{2}a）^{2}}{2×\sqrt{5}a×\sqrt{5}a}$=$\frac{4}{5}$．
∴直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值是$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成的角，關(guān)鍵是找出角，是中檔題．