【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，平面，平面，， .

（1）當長為多少時，平面平面？

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用向量垂直列方程組，解得各面法向量，根據(jù)平面垂直得兩法向量數(shù)量積為零，解得長，（2）利用方程組先解出各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果.

試題解析：（1）連接BD交AC于點O，則AC⊥BD.

取EF的中點G，連接OG，則OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.

∴OG，AC，BD兩兩垂直.

∴以AC，BD，OG所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），

設(shè)，

由題意，易求，

∴，

設(shè)平面AEF，平面CEF的法向量分別為，

由，，得，∴

解得. 令，∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF，則，

∴，

解得或（舍），

即BF長為時，平面AEF⊥平面CEF.

（2）當時，，

∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，

∴EF⊥平面AFC，

∴平面AFC的一個法向量為，

設(shè)平面AEC的一個法向量為，則

，∴，得，

令，得，∴.

從而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.

(1)求該出租車公司的司機參加“愛心送考”的人均次數(shù)；

(2)從這200名司機中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對值為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若的圖像在直線下方，求b的取值范圍；

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【題目】某地公共電汽車和地鐵按照里程分段計價，具體如下表：

乘公共電汽車方案

10公里（含）內(nèi)2元；

10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）

乘坐地鐵方案

6公里（含）內(nèi)3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）

已知在一號線地鐵上，任意一站到站的票價不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐一號線地鐵，且在站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示.

（Ⅰ）如果從那些只乘坐一號線地鐵，且在站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；

（Ⅱ）已知選出的120人中有6名學(xué)生，且這6名學(xué)生中票價為3、4、5元的人數(shù)分別為3，2，1人，現(xiàn)從這6人中隨機選出2人，求這2人的票價和恰好為8元的概率；

（Ⅲ）小李乘坐一號線地鐵從地到站的票價是5元，返程時，小李乘坐某路公共電汽車所花交通費也是5元，假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為公里，試寫出的取值范圍.

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【題目】如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求證：BC⊥平面PAC；

(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；

(3)是否存在點E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．

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【題目】在一次詩詞知識競賽調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手分為兩個年齡（單位:歲）段：，，其中答對詩詞名句與否的人數(shù)如圖所示.

（1）完成下面2×2列聯(lián)表；

年齡段

正確

錯誤

合計

合計

（2）是否有90%的把握認為答對詩詞名句與年齡有關(guān)，請說明你的理由；

（3）現(xiàn)按年齡段分層抽樣選取6名選手，若從這6名選手中選取3名選手，求3名選手中年齡在歲范圍人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】點分別是正方體的棱的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________（寫出所有真命題的編號）．

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