Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x∈（-∞，0]}\\{{x}^{2}+2ax+1，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）+2x-a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-∞，-3）
• D． （0，-3）

Answer 1

分析 由題意可得需使指數(shù)函數(shù)部分與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，拋物線部分與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，判斷x≤0，與x＞0交點(diǎn)的情況，列出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．

解答 解：g（x）=f（x）+2x-a=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+2x-a，x≤0}\\{{x}^{2}+（2a+2）x+1-a，x＞0}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f（x）+2x-a有三個(gè)零點(diǎn)，
可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)的部分，
函數(shù)圖象的右半部分為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為x=-a-1，最多兩個(gè)零點(diǎn)，
如上圖，要滿足題意，函數(shù)y=2^x+2x是增函數(shù)，x≤0一定與x相交，過(guò)（0，1），g（x）=2^x+2x-a，與x軸相交，1-a≥0，可得a≤1．
還需保證x＞0時(shí)，拋物線與x軸由兩個(gè)交點(diǎn)，可得：-a-1＞0，△=4（a+1）²-4（1-a）＞0，
解得a＜-3，綜合可得a＜-3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．