Question

4．已知橢圓 C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn) D 在橢圓 C 上，DF₁⊥F₁F₂，|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$|DF|，△DFF的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；（2）圓x²+y²=b²的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積，結(jié)合直角三角形，求出a，推出b，然后求解橢圓方程．
（2）設(shè)?的方程是x=my+n，?與橢圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理判別式，通過(guò)弦長(zhǎng)公式求解即可．

解答 解：依題意：${S_{△D{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{D{F_1}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•\frac{{|{{F_1}{F_2}}|}}{{4\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
$⇒{|{{F_1}{F_2}}|^2}=12⇒|{{F_1}{F_2}=2\sqrt{3}}|⇒|{{D_1}{F_1}}|=\frac{1}{2}$
由Rt△$D{F_1}{F_2}⇒{|{D{F_2}}|^2}={|{D{F_1}}|^2}+{|{{F_1}{F_2}}|^2}=\frac{49}{4}$
$⇒|{D{F_2}}|=\frac{7}{2}⇒2a=|{D{F_1}}|+|{D{F_2}}|=4⇒a=2$，
由$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}⇒c=\sqrt{3}⇒b=1$
⇒橢圓的方程是：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（2）直線?的斜率為O時(shí)不合題意，故可設(shè)?的方程是x=my+n，
?與橢圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由?與圓x²+y²=1相切$⇒\frac{|n|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=1⇒{n^2}={m^2}+1$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$⇒（m²+4）y²+2mny+n²-4=0△=4m²n²=4（m²+4）（n²-4）=48＞0
${y_1}+{y_2}=-\frac{2mn}{{{m^2}+4}}{y_1}{y_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{{m^2}+4}}$，$|{AB}|=\sqrt{1+{m^2}}|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{1+{m^2}}\frac{{4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}$…（9分）
=$\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+{m^2}}+\frac{3}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}}≤2$
當(dāng)且僅當(dāng)m²=2，n²=3時(shí)|AB|=2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．