Question

19．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與雙曲線C₂：x²-y²=1有公共的焦點(diǎn)，雙曲線C₂的一條漸近線與以橢圓C₁的長軸為直徑的圓相交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓C₁交于M、N兩點(diǎn)，若$AB=\sqrt{2}MN$，則橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出雙曲線的一條漸近線方程，聯(lián)立直線與圓、直線與橢圓求得|AB|、|MN|，再求出雙曲線的焦距，結(jié)合已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解即可得到橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：如圖，雙曲線C₂：x²-y²=1的一條漸近線方程為y=x，

由題意可知：|AB|=2a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}\end{array}\right.$，
∴|MN|=2$\sqrt{\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$，
由題意，$2a=\sqrt{2}•2\sqrt{\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$，即a²+b²=4b²，①
且c=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，②
聯(lián)立①②解得a²=3，b²=1．
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．