Question

11．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B=2C，2b=3c．
（1）求cosC；
（2）若c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化簡后求出cosC；
（2）由條件求出b，由內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sinC，由余弦定理列出方程化簡后求出a，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵B=2C，2b=3c，
∴由正弦定理得，$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
則$\frac{2sinCcosC}=\frac{c}{sinC}$，即cosC=$\frac{2c}$=$\frac{3}{4}$；
（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，
∵0＜C＜π，cosC=$\frac{3}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
則$16={a}^{2}+36-2a×6×\frac{3}{4}$，
即a²-9a+20=0，解得a=4或a=5，
當(dāng)a=4時(shí)，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$3\sqrt{7}$，
當(dāng)a=5時(shí)，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，以及二倍角的正弦公式等的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．