1.(1)求證:sinα•sinβ=$\frac{1}{2}$[cos(α-β)-cos(α+β)];
(2)在銳角△ABC中,∠A=60°,BC=2,求△ABC面積的取值范圍.

分析 (1)、根據(jù)題意,利用余弦的和差公式可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,將兩個(gè)式子相加,解可得證明;
(2)、根據(jù)題意,結(jié)合正弦定理可得S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinBsinC,結(jié)合(1)的結(jié)論可得S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍,進(jìn)而代入S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],計(jì)算可得答案.

解答 解:(1)證明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[(cosαcosβ+sinαsinβ)+(cosαcosβ-sinαsinβ)]=$\frac{1}{2}$[cos(α-β)-cos(α+β)];
即原等式可證;
(2)在銳角△ABC中,由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$,
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2$\frac{sinBsinC}{si{n}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC,
由(1)可知,sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[cos(α-β)-cos(α+β)]
=$\frac{1}{2}$[cos(B-C)+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$];
故S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],
0°<B<90°,0°<C<90°且B+C=120°,
則有30°<B<90°,
即30°<2B-30°<150°,
則$\frac{1}{2}$<sin(2B-30°)≤1,
又由S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],
故$\frac{2\sqrt{3}}{3}$<S△ABC≤$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題(1)考查三角函數(shù)的恒等變換,(2)考查正弦定理的應(yīng)用,關(guān)鍵要正確利用(1)的結(jié)論.

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