分析 (1)、根據(jù)題意,利用余弦的和差公式可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,將兩個(gè)式子相加,解可得證明;
(2)、根據(jù)題意,結(jié)合正弦定理可得S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinBsinC,結(jié)合(1)的結(jié)論可得S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍,進(jìn)而代入S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],計(jì)算可得答案.
解答 解:(1)證明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[(cosαcosβ+sinαsinβ)+(cosαcosβ-sinαsinβ)]=$\frac{1}{2}$[cos(α-β)-cos(α+β)];
即原等式可證;
(2)在銳角△ABC中,由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$,
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a2$\frac{sinBsinC}{si{n}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC,
由(1)可知,sinαsinβ=$\frac{1}{2}$[cos(α-β)-cos(α+β)]
=$\frac{1}{2}$[cos(B-C)+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$];
故S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],
0°<B<90°,0°<C<90°且B+C=120°,
則有30°<B<90°,
即30°<2B-30°<150°,
則$\frac{1}{2}$<sin(2B-30°)≤1,
又由S△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[cos(2B-120°)+$\frac{1}{2}$],
故$\frac{2\sqrt{3}}{3}$<S△ABC≤$\sqrt{3}$.
點(diǎn)評 本題(1)考查三角函數(shù)的恒等變換,(2)考查正弦定理的應(yīng)用,關(guān)鍵要正確利用(1)的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | n=2 | B. | n=3 | C. | n=2或n=3 | D. | n=4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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出租天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
車輛數(shù) | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 |
出租天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
車輛數(shù) | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
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A. | a≤1 | B. | a<1 | C. | a≥2 | D. | a>2 |
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