Question

13．（1）求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以坐標(biāo)軸為對稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)，過（3，2）的拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意和雙曲線的性質(zhì)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入列出方程求出方程解，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意設(shè)拋物線的方程，將已知點(diǎn)代入列出求出p的值，可得拋物線的方程．

解答 解：（1）設(shè)與$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1有共同的漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：
$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}=λ（λ≠0）$，
∵過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$），∴$\frac{3}{9}-\frac{20}{12}=λ$，解得λ=$-\frac{4}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}=λ$化簡得，$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$；
（2）由題意設(shè)拋物線的方程是y²=2px或x²=2py（p＞0），
∵過（3，2），∴4=6p或9=4p，解得p=$\frac{2}{3}$或$\frac{9}{4}$，
∴拋物線的方程是${y}^{2}=\frac{4}{3}x$或${x}^{2}=\frac{9}{2}y$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：待定系數(shù)法，以及共漸近線的雙曲線方程的設(shè)法，考查方程思想，化簡、計算能力．