Question

6．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（1）求直線2x-y+1=0截圓C所得的弦長．
（2）是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的圓心C（1，-2），半徑r=3，再求出圓心C（1，-2）到直線2x-y+1=0的距離d，弦長為：2$\sqrt{{r}^{2}-np8drvx^{2}}$．
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，設(shè)直線l的方程為：y=x+b，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得2x²+（2b+2）x+b²+4b-4，由此利用韋達定理、向量垂直，結(jié)合題設(shè)條件能求出存在滿足條件的直線方程．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x+4y-4=0的圓心C（1，-2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16+16}$=3，
圓心C（1，-2）到直線2x-y+1=0的距離d=$\frac{|2+2+1|}{\sqrt{4+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴弦長為：2$\sqrt{{r}^{2}-ydf2e8d^{2}}$=2$\sqrt{9-5}$=4．
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，
設(shè)直線l的方程為：y=x+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得2x²+（2b+2）x+b²+4b-4，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-b-1，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}+4b-4}{2}$，
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=${x}_{1}{x}_{2}+b（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$
=$\frac{^{2}+4b-4}{2}+b（-b-1）+^{2}$=$\frac{^{2}+4b-4}{2}+b（-b-1）+^{2}$=$\frac{^{2}+2b-4}{2}$，
又∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{^{2}+4b-4}{2}+\frac{^{2}+2b-4}{2}$=0，
解得b=1或b=-4，
把b=1和b=-4分別代入①式，驗證判別式均大于0，故存在b=1或b=-4，
∴存在滿足條件的直線方程是：y=x-4或y=x+1

點評 本題考查弦長的求法，考查直線方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化、化歸思想，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．