Question

15．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，定義S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），其中n∈N₊，（n≥2）則S_n=$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，可得f（x）+f（1-x）=1+log₂$\frac{x}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x}$=1+log₂1=1，再利用“倒序相加法”即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，
∴f（x）+f（1-x）=1+log₂$\frac{x}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x}$=1+log₂1=1，
∵S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
∴2S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+$f（\frac{n-2}{n}）$+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+$f（\frac{1}{n}）$
=1×n=n，
∴S_n=$\frac{n}{2}$．
故答案為：$\frac{n}{2}$．

點評 本題考查了“倒序相加法”、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．