Question

14．設函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）若不等式f（x）≥3對一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用a=3，化簡不等式，通過分類討論取得絕對值求解即可．（2）利用函數(shù)恒成立，轉化求解即可．

解答 解：（1）當a=-1時，不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
①當x≥1時，不等式即x-1+x+1≥5，解得x≥$\frac{5}{2}$；
②當-1＜x＜1時，不等式即x-1-1-x≥5，無解；
③當x≤-1時，不等式即1-x-1-x≥3，解得x≤-$\frac{3}{2}$；
綜上，不等式f（x）≥5的解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
∴f（x）_min=|a-1|．
∵f（x）≥3對任意x∈R恒成立，
∴|a-1|≥3，解得a≤-2或a≥4，
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立絕對值不等式的解法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．