Question

19．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x-y=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）討論f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）≤a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，利用函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x-y=0，列出方程求解即可．
（Ⅱ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，若x＞1，當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性即可．
（Ⅲ）通過(guò)當(dāng)a≤1時(shí)，判斷是否滿足題意；當(dāng)a＞1時(shí)，求出f（x）_min=f（a）=lna+1，得到lna+1-a≤0，設(shè)g（a）=lna+1-a，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用還是的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x-y=0，
∴f'（1）=1-a=2，∴a=-1．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，若x＞1，當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）=0，解得x=a，1＜x＜a，f'（x）＜0；x＞a，f'（x）＞0，則f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）＞f（1）=a，則不存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）≤a成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）_min=f（a）=lna+1，
若lna+1≤a，則lna+1-a≤0，設(shè)g（a）=lna+1-a，
∴$g'（a）=\frac{1}{a}-1＜0$，則g（a）在（1，+∞）單調(diào)遞減，g（a）＜g（1）=0，
∴此時(shí)存在x₀=a，使得f（x₀）≤a成立．
綜上所述，a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．