Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求w的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2cos²x-1，求g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得周期T=π，即可求出ω的值，
（2）根據(jù)二倍角公式和兩角和差的正弦公式，可得g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最值

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為$\frac{π}{2}$．
可得函數(shù)的最小正周期為T=2×$\frac{π}{2}$=π，
則ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=2，
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+2cos²x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為1，最小值為-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．