Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為R，且的圖像過點.

（1）求實數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)在R上的最大值為？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由圖象變換可得f（0）＝log4b＝0，解得b；

（2）可令t，可得t＞0，且函數(shù)t在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)不小于0，解不等式即可得到a的范圍；

（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在R上的最大值為1﹣log43，即有t在R上的最大值為．將函數(shù)t整理為關(guān)于x的方程，運用判別式非負(fù)，結(jié)合二次方程的根的含義，代入，解方程即可得到a的值，檢驗即可得到所求值．

（1）y＝f（x+1）的圖象過點A（﹣1，0），

可得y＝f（x）的圖象過點（0，0），

即有f（0）＝log4b＝0，解得b＝1；

（2）可令t，

可得t＞0，且函數(shù)t在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

由導(dǎo)數(shù)t′

0恒成立，

由于x≥1，可得a﹣1≤0，即a≤1，

當(dāng)a＝1時，函數(shù)t＝1為常數(shù)，舍去，

故a＜1；

（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在R上的最大值為1﹣log43，

即有t在R上的最大值為．

即有（t﹣1）x2+（t﹣a）x+t﹣1＝0

由△＝（t﹣a）2﹣4（t﹣1）2≥0，

即有3t2﹣（8﹣2a）t﹣（a2﹣4）≤0，

由假設(shè)可得3（8﹣2a）（a2﹣4）＝0，

解得a＝2或，

當(dāng)a＝2時，f（x）＝log4的定義域不為R，舍去，

則存在實數(shù)a為，使函數(shù)f（x）在R上的最大值為1﹣log43．