Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，若$\{\frac{1}{{{a_n}+1}}\}$為等差數(shù)列，則a₁₉=0．

Answer 1

分析 先求出公差d=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{24}$，再求出$\frac{1}{{a}_{19}+1}$，由此能求出a₁₉的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，$\{\frac{1}{{{a_n}+1}}\}$為等差數(shù)列，
∴d=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{7}+1}$-$\frac{1}{{a}_{3}+1}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{24}$，
∴$\frac{1}{{a}_{19}+1}$=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$+16d=$\frac{1}{3}+16×\frac{1}{24}$=1，
解得a₁₉=0．
故答案為：0．

點評 本題考查等差數(shù)列中兩項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．