Question

10．“若f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x₁，x₂，…，x_n，有$\frac{1}{n}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）++f（x_n^{\;}）}]≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}++{x_n}}}{n}）$”設(shè)f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用是凸函數(shù)的定義，可得$\frac{1}{3}$[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（$\frac{A+B+C}{3}$），計(jì)算即可得到所求最大值，及等號(hào)成立的條件．

解答 解：由f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，
可得在△ABC中，$\frac{1}{3}$[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（$\frac{A+B+C}{3}$），
即有$\frac{1}{3}$（sinA+sinB+sinC）≤sin$\frac{π}{3}$，
即sinA+sinB+sinC≤3sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=$\frac{π}{3}$時(shí)，取得等號(hào)．
則sinA+sinB+sinC的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的內(nèi)角和定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．