已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.
（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點滿足要求.

試題分析：（1）先檢驗直線斜率不存在的情況，后假設直線的方程，利用弦長公式求出的長，利用點到直線的距離公式求點到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點的坐標，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設存在，使得，由（1）得，，從而求得點的坐標，可以求出直線的方程，從而得到結論.
試題解析：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于軸對稱，所以
因為在橢圓上，因此   ①
又因為所以   ②
由①、②得，此時     2分
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因為點到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時

綜上所述，結論成立         5分
（2）解法一：
（1）當直線的斜率不存在時，由（I）知
因此               6分
（2）當直線的斜率存在時，由（I）知

所以

所以，當且僅當，即時，等號成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因為

所以
即當且僅當時等號成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點，使得 10分
證明：假設存在滿足
由（I）得

解得
所以只能從中選取，只能從中選取
因此只能在這四點中選取三個不同點
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點
與矛盾
所以橢圓上不存在滿足條件的三點       14分.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知離心率的橢圓一個焦點為.
(1)求橢圓的方程；
(2) 若斜率為1的直線交橢圓于兩點,且，求直線方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線經(jīng)過、兩點
（1）求雙曲線的方程；
（2）設直線交雙曲線于、兩點，且線段被圓：三等分，求實數(shù)、的值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線經(jīng)過點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)直線過定點，斜率為，當為何值時，直線與拋物線有公共點?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，且，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當時，求實數(shù)m的取值范圍，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)為橢圓的兩個焦點，M為橢圓上任意一點，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|構成等差數(shù)列，點F2(c,0)到直線l：x＝的距離為3.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，求出該圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

與橢圓共焦點，且漸近線為的雙曲線方程是（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線與曲線的交點個數(shù)是      ．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案