Question

【題目】已知直線的方程為，拋物線：的焦點為，點是拋物線上到直線距離最小的點.

（1）求點的坐標；

（2）若直線與拋物線交于兩點，為中點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）(1,2) （2）9x+3y-7=0

【解析】

(1)根據(jù)點到直線的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)得出P點坐標；(2)設(shè)出點M的坐標，由向量坐標化得到M(1,-)，設(shè)出點A和點B的坐標，代入拋物線，兩式做差得到斜率，由點斜式得到直線方程.

(1)設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則y02=4x0，所以，點P到直線的距離：

d ====≥

當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時取最小值，此時P點坐標為(1,2).

(2)設(shè)點M的坐標為（x1,y1）因為=3, 又點P(1,2),又F(1,0)可得：(0，-2)=3(x1-1,y1-0)

經(jīng)計算得：點M(1,-)

設(shè)點A(x2,y2)點B（x3,y3）,于是

兩式相減可得：(y3- y2)( y3+y2)=4(x3-x2) 化簡得： =,

所以k=-3

于是，y+=-3(x-1),整理得9x+3y-7=0