【題目】已知函數(shù)，.

（1）若時，求函數(shù)的最小值；

（2）若函數(shù)既有極大值又有極小值，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）代入，得，求導，利用導函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；

（2）現(xiàn)求導數(shù)，函數(shù)既有極大值又有極小值，等價于有兩個零點，可分和兩種情況分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，得到函數(shù)有極大值和極小值的條件，即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）當時，，定義域為.

，令，可得.

列表：

-

0

+

極小值

所以，函數(shù)的最小值為.

（2），定義域為，.

記，，，

①當時，，在上單調(diào)遞增，

故在上至多有一個零點，

此時，函數(shù)在上至多存在一個極小值，不存在極大值，不符題意；

②當時，令，可得，列表：

+

0

-

極大值

若，即，，即，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上不存在極值，與題意不符，

若，即時，

由于，且 ，

故存在，使得，即，

且當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取極小值.

由于，且 （事實上，令， ，故在上單調(diào)遞增，所以）.

故存在，使得，即，

且當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取極大值.

綜上所述，當時，函數(shù)在上既有極大值又有極小值.

練習冊系列答案
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其中正確命題的個數(shù)為（ ）

A.4B.3C.2D.1

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