Question

20．已知橢圓E的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若橢圓右焦點到橢圓E的中心的距離是$\sqrt{2}$
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1（k≠0）與該橢圓交于不同的兩點B，C，若坐標原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△BOC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓E的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若橢圓右焦點到橢圓E的中心的距離是$\sqrt{2}$，求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程．
（2）先由原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出k，再將直線l與橢圓聯(lián)立，求出B、C坐標，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可．

解答 解：（1）橢圓E的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若橢圓右焦點到橢圓E的中心的距離是$\sqrt{2}$
∴b=1，c=$\sqrt{2}$，則a=$\sqrt{3}$，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由已知可得：$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：
x²+$\sqrt{3}$x=0，∴x₁=0，y₁=1，x₂=-$\sqrt{3}$，y₂=0，∴|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
△BOC的面積：$\frac{1}{2}×2×1$=1．
當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，所求三角形的面積也是1．

點評 本題考察了橢圓的標準方程，直線與橢圓相交的性質(zhì)，解題時要特別注意韋達定理在解題中的重要應(yīng)用，巧妙地運用設(shè)而不求的解題思想提高解題效率．