Question

15．2017年，嘉積中學(xué)即將迎來100周年校慶．為了了解在校同學(xué)們對(duì)嘉積中學(xué)的看法，學(xué)校進(jìn)行了調(diào)查，從三個(gè)年級(jí)任選三個(gè)班，同學(xué)們對(duì)嘉積中學(xué)的看法情況如下：

對(duì)嘉積中學(xué)的看法	非常好，嘉積中學(xué)奠定了 我一生成長的起點(diǎn)	很好，我的中學(xué)很快樂很充實(shí)
A班人數(shù)比例	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
B班人數(shù)比例	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
C班人數(shù)比例	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

（Ⅰ）從這三個(gè)班中各選一個(gè)同學(xué)，求恰好有2人認(rèn)為嘉積中學(xué)“非常好”的概率（用比例作為相應(yīng)概率）；
（Ⅱ）若在B班按所持態(tài)度分層抽樣，抽取9人，在這9人中任意選取3人，認(rèn)為嘉積中學(xué)“非常好”的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算3位同學(xué)恰好有2人認(rèn)為“非常好”的概率；
（Ⅱ）在B班按照相應(yīng)比例選取9人，認(rèn)為“非常好”的有6人，“很好”的有3人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記這3位同學(xué)恰好有2人認(rèn)為嘉積中學(xué)“非常好”的事件為A，
則$P（A）=\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•（1-\frac{3}{4}）+\frac{1}{2}•（1-\frac{2}{3}）•\frac{3}{4}+（1-\frac{1}{2}）•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}=\frac{11}{24}$；          …（5分）
（Ⅱ）在B班按照相應(yīng)比例選取9人，則
認(rèn)為嘉積中學(xué)“非常好”的應(yīng)該選取6人，
認(rèn)為嘉積中學(xué)“很好”的應(yīng)選取3人，
則ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$；
所以ξ的分布列為：

E	0	1	2	3
PC	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

則的期望值為：$Eξ=0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}=2$（人）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件的概率以及離散型隨機(jī)事件的概率問題，是基礎(chǔ)題．