Question

20．已知函數f（x）=2sinωx•cosωx$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}{sin^2}ωx（ω＞0）$的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向下平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在區(qū)間[0，20]上零點的個數．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性、單調性，求得f（x）的單調增區(qū)間．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，結合正弦函數的圖象可得y=g（x）在區(qū)間[0，20]上零點的個數．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinωx•cosωx-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin²ωx=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
對于$f（x）=2sin（2ωx-\frac{π}{3}）$，因為最小正周期$T=π=\frac{2π}{2ω}$，∴ω=1，∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5}{12π}$，k∈Z，
可得f（x）的單調增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5}{12π}]$（k∈Z）．
（2）把$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向下平移1個單位，
可得g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]-1=2sin2x-1，
令g（x）=0，得sin2x=$\frac{1}{2}$，得 2x=2kπ+$\frac{π}{6}$，或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$，或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以g（x）在每個周期上恰有兩個零點，而g（x）在[0，20π]恰有20個周期，所以有40個零點．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的周期性、單調性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數的零點，屬于中檔題．