Question

6．已知F₁、F₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點，點P是C₁與C₂的公共點，若橢圓C₁的離心率e₁∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則雙曲線C₂的離心率e₂的最小值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓及雙曲線方程，利用定義求得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，利用勾股定理及橢圓、雙曲線的離心率公式，求得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，利用橢圓的離心率范圍，即可求得e₂的最小值．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準方程：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
雙曲線的標(biāo)準方程：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），
設(shè)P位于第一象限，半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，
丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
解得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²，
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，即a₁²+a₂²=2c²，
即有$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}$=2，
即為$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
由e₁∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
可得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$∈[$\frac{4}{3}$，2），
則$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$∈（0，$\frac{2}{3}$]．
則e₂≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即有雙曲線C₂的離心率e₂的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的定義及簡單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．