Question

14．平面內(nèi)三點A，B，C滿足|$\overrightarrow{BA}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=4，$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=0，M，N為平面內(nèi)的動點，且$\overrightarrow{AM}$為單位向量，若$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{MN}$，則|$\overrightarrow{BN}$|的最大值與最小值的和為（　�。�

• A． 10
• B． 8
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 建立坐標系，設M（cosθ，3+sinθ），求出|$\overrightarrow{BN}$|關于θ的函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出|$\overrightarrow{BN}$|的最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=0，∴BA⊥BC，
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，∴M在以A為原點，1為半徑的圓A上，
∵$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{MN}$，∴N是MC的中點，
以BC，BA為坐標軸建立坐標系，如圖：則B（0，0），C（4，0），A（0，3），
設M（cosθ，3+sinθ），則N（$\frac{1}{2}$cosθ+2，$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{3}{2}$），
∴|$\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{（\frac{1}{2}cosθ+2）^{2}+（\frac{1}{2}sinθ+\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{2}+2cosθ+\frac{3}{2}sinθ}$=$\sqrt{\frac{13}{2}+\frac{5}{2}sin（θ+γ）}$，
∴|$\overrightarrow{BN}$|的最大值為$\sqrt{\frac{13}{2}+\frac{5}{2}}$=3，最小值為$\sqrt{\frac{13}{2}-\frac{5}{2}}$=2，
∴|$\overrightarrow{BN}$|的最大值與最小值的和為5．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的運算，屬于中檔題．