Question

6．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與它的二項(xiàng)式系數(shù)和的比為32．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）各項(xiàng)系數(shù)和為（1+3）ⁿ=4ⁿ，二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，則$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．再利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用通項(xiàng)公式及其有理項(xiàng)的定義即可得出．

解答 解：（1）各項(xiàng)系數(shù)和為（1+3）ⁿ=4ⁿ，二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，則$\frac{{{2^{2n}}}}{2^n}=32$，解得n=5．
又因?yàn)槎��?xiàng)式展開式的通項(xiàng)為${T_{k+1}}=C_5^k{（{x^{\frac{2}{3}}}）^{5-k}}{（3{x^2}）^k}$，
則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，第四項(xiàng)${T_4}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^2}{（3{x^2}）^3}=270{x^{\frac{22}{3}}}$．
（2）${T_{k+1}}={3^k}C_5^k{x^{\frac{10+4k}{3}}}，k=0，1，2，3，4，5$，
所以k=2時(shí)${T_3}=C_5^2{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，
k=5時(shí)，${T_6}=C_5^5{（{x^{\frac{2}{3}}}）^0}{（3{x^2}）^5}=243{x^{10}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．