Question

2．設(shè)a＞0且a≠1函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-a
（1）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（2）求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）指出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的范圍，求出函數(shù) 單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（3）0＜a＜1時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，a＞1時(shí)，求出函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x+x²-x-e，f'（x）=e^x+2x-1．                …（2分）
設(shè)g（x）=e^x+2x-1，則g（0）=0，且g'（x）=e^x+2＞0．
所以，g（x）在（-∞，+∞）上單增，且
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜g（0）=0．
即 當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0．
綜上，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間是（0，+∞），單減區(qū)間是（-∞，0）．              …（4分）
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x
①當(dāng)a＞1，若x＞0，則a^x＞1，lna＞0，所以f'（x）＞0
若x＜0，則a^x＜1，lna＞0，所以f'（x）＜0
②當(dāng)0＜a＜1，若x＞0，則a^x＜1，lna＜0，所以f'（x）＞0
若x＜0，則a^x＞1，lna＜0，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，0）上減，（0，+∞）上增．…（6分）
所以f（x）_min=f（0）=1-a，…（8分）
（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）_min=1-a．
（�。┤�1-a＞0即0＜a＜1時(shí)，f（x）_min=1-a＞0，函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)．…（10分）
（ⅱ）若1-a＜0即a＞1時(shí)，f（x）_min=1-a＜0．
f（x）的圖象在定義域是不間斷的曲線，f（x）在（-∞，0）上單減，在（0，+∞）上單增．
f（a）=a^a+a²-alna-a＞a²-alna-a=a（a-lna-1）．
令t（a）=a-lna-1，（a＞1），$t'（a）=1-\frac{1}{a}＞0$，所以t（a）在（1，+∞）遞增；
所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一個(gè)零點(diǎn)．       …（12分）
又f（-a）＞a²-a＞0，
故f（x）在（-a，0）有一個(gè)零點(diǎn)．                                      …（14分）
所以f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）各有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．
綜上：①0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)；②a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．