Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（I） 當a=1時，求證：f（x）≥1；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點x₁，x₂，其中x₁＜x₂，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（2）的條件下，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，直接代入函數(shù)求導，f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以最小值為f（0）；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合零點定理即可求出a的范圍；
（3）由${e}^{{x}_{1}}$=ax₁，${e}^{{x}_{2}}$=ax₂ 得x₁=lna+lnx₁，x₂=lna+lnx₂；得到所以x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$；
構(gòu)造函數(shù)h（t）=$lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$ 求證即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1．
f'（x）＞0?x＞0；f'（x）＜0?x＜0．
所以f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，f（x）_min=f（0）=1，當且僅當x=0時取等號．
（2）由f（x）=e^x-ax，得f'（x）=e^x-a
當a＜0時，f（x）在R上為增函數(shù)，
函數(shù)f（x）醉倒有一個零點，不符合題意，所以a＞0．
當a＞0時，f'（x）=e^x-a=e^x-e^lna
f'（x）＜0?x＜lna；f'（x）＞0?x＞lna；
所以f（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+∞）上為增函數(shù)；
所以f（x）_min=f（lna）=a-alna；
若函數(shù)f（x）有兩個零點，則f（lna）＜0⇒a＞e；
當a＞e時，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；
f（3a）=（e^a）³-3a²＞0；
由零點存在定理，函數(shù)f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一個零點．
結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，當a＞e時，函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點，
所以，a的取值范圍為（e，+∞）．
（3）由（2）得a＞e，0＜x₁＜x₂；
由${e}^{{x}_{1}}$=ax₁，${e}^{{x}_{2}}$=ax₂ 得x₁=lna+lnx₁，x₂=lna+lnx₂；
所以x₂-x₁=$ln{x}_{2}-ln{x}_{1}=ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$；
設(shè)$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t （t＞1），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=t{x}_{1}}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=lnt}\end{array}\right.$，解得${x}_{1}=\frac{lnt}{t-1}$，${x}_{2}=\frac{tlnt}{t-1}$；
所以x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$
當t＞1時，x₁+x₂＞2?$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$＞2?$lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$＞0；
設(shè)h（t）=$lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，則h'（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$，當t＞1時，h'（t）＞0；
于是h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
所以，當t＞1時，h（t）＞h（1）=0，即lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＞0；
所以x₁+x₂＞2．

點評 本題主要考查了利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及零點定理應(yīng)用與構(gòu)造函數(shù)等知識點，屬較難題．