Question

11．已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，求a的值；
（3）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（4）若f^-1（1）=$\frac{1}{3}$，解關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)概念可得定義域；再由奇偶性定義可得奇函數(shù)；討論a＞1，0＜a＜1可得單調(diào)性；
（2）由題意可得x=±$\frac{1}{2}$是方程log_a$\frac{1+x}{1-x}$=±2的解，解方程可得a；
（3）由y=f（x）解出x，將x換為y，y換為x，即可得到；
（4）化簡可得$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞1-m，討論當m≥1時，當m＜1時，即可得到所求解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）的定義域為（-1，1），
由f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
由f（x）═log_a（1+x）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=log_a（$\frac{2}{1-x}$-1），
當a＞1時，0＜x＜1，$\frac{2}{1-x}$-1遞增，函數(shù)f（x）遞增；
由奇函數(shù)性質(zhì)，可得f（x）在a＞1，（-1，1）單調(diào)遞增；
當0＜a＜1時，0＜x＜1，$\frac{2}{1-x}$-1遞增，函數(shù)f（x）遞減；
由奇函數(shù)性質(zhì)，可得f（x）在a＞1，（-1，1）單調(diào)遞減；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
則-2＜log_a$\frac{1+x}{1-x}$＜2的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
即有x=±$\frac{1}{2}$是方程log_a$\frac{1+x}{1-x}$=±2的解，
可得log_a$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$═±2，解得a=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）由y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
可得x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，
將x換為y，y換為x，可得y=f^-1（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$；
（4）若f^-1（1）=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{3}$，可得a=2，
不等式f^-1（x）＜m，即為$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＜m，
即$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞1-m，
當m≥1時，x∈R；
當m＜1時，
即為2^x＜$\frac{1+m}{1-m}$，
解得x＜log₂$\frac{1+m}{1-m}$，
綜上可得，當m≥1時，解集為R；
當m＜1時，解集為{x|x＜log₂$\frac{1+m}{1-m}$}．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查不等式的解法，以及反函數(shù)求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．