Question

20．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）•{e}^{x}，x≤a}\\{bx-1，x＞a}\end{array}\right.$，若函數f（x）有最大值M，則M的取值范圍是（　�。�

• A． （$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e}^{2}}$，0）
• B． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2{e}^{2}}$]
• D． （$\frac{1}{2{e}^{2}}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 判斷f（x）在（-∞，a]上的單調性，討論a與-2的大小關系即可求出M的范圍．

解答 解：若f（x）有最大值，顯然f（x）在（a，+∞）不單調遞增，故b≤0，且ab-1≤f（a），
當x≤a時，f（x）=-（x+1）e^x，
∴f′（x）=-（x+2）e^x，
令f′（x）=-（x+2）e^x=0，解得x=-2
∴當x＜-2時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x＞-2時，f′（x）＜0時，函數f（x）單調遞減，
當x=-2時，f（x）取得最大值f（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴當a≥-2時，f（x）_max=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當a＜-2時，f（x）_max=f（a），
又x→-∞時，f（x）→0，
∴0＜M≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故選B．

點評 本題考查了函數的單調性判斷與極值計算，屬于中檔題．