Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）•{e}^{x}，x≤a}\\{bx-1，x＞a}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）有最大值M，則M的取值范圍是（　�。�

• A． （$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e}^{2}}$，0）
• B． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2{e}^{2}}$]
• D． （$\frac{1}{2{e}^{2}}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 判斷f（x）在（-∞，a]上的單調(diào)性，討論a與-2的大小關(guān)系即可求出M的范圍．

解答 解：若f（x）有最大值，顯然f（x）在（a，+∞）不單調(diào)遞增，故b≤0，且ab-1≤f（a），
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=-（x+1）e^x，
∴f′（x）=-（x+2）e^x，
令f′（x）=-（x+2）e^x=0，解得x=-2
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞-2時(shí)，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得最大值f（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴當(dāng)a≥-2時(shí)，f（x）_max=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）_max=f（a），
又x→-∞時(shí)，f（x）→0，
∴0＜M≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．