Question

5．設函數(shù)f（x）=|x²-2x-1|，若m＞n＞1，且f（m）=f（n），則mn的取值范圍為（　�。�

• A． $（{3，3+2\sqrt{2}}）$
• B． $（{3，3+2\sqrt{2}}]$
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，判斷m，n的范圍，根據(jù)f（m）=f（n）和基本不等式得出答案

解答 解：解方程x²-2x-1=0得x=1±$\sqrt{2}$，
∴當1-$\sqrt{2}$＜x＜1+$\sqrt{2}$時，x²-2x-1＜0，
當x＜1-$\sqrt{2}$或x＞1+$\sqrt{2}$時，x²-2x-1＞0，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵m＞n＞1，且f（m）=f（n），
∴1＜n＜1$+\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$＜m＜3．
f（n）=-n²+2n+1，f（m）=m²-2m-1，
∵f（m）=f（n），
∴m²-2m-1+n²-2n-1=0，即（m+n-1）²=2mn+3，
∵m+n＞2$\sqrt{mn}$＞1，
∴（m+n-1）²＞（2$\sqrt{mn}$-1）²=4mn-4$\sqrt{mn}$+1，
∴2mn+3＞4mn-4$\sqrt{mn}$+1，解得0＜$\sqrt{mn}$＜1+$\sqrt{2}$，
∴mn＜3+2$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應用，屬于中檔題．