1.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為△ACD的重心,點(diǎn)M為線(xiàn)段PB上的點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)時(shí),求證:PD∥平面ACM;
(2)當(dāng)平面CDM與平面CBM所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$時(shí),求$\frac{BM}{BP}$的值.

分析 (1)設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為I,連結(jié)MI,推導(dǎo)出PD∥MI,由此能證明PD∥平面ACM;
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為O,分別以O(shè)A、OC為x軸、y軸,過(guò)O點(diǎn)垂直平面ABCD的直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出$\frac{BM}{BP}$的值.

解答 證明:(1)設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為I,連結(jié)MI,
∵底面ABCD是菱形,∴I為BD中點(diǎn),
∵點(diǎn)M為BP的中點(diǎn),∴PD∥MI,
又MI?平面ACM,PD?平面ACM,
∴PD∥平面ACM;     …(5分)
解:(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為O,分別以O(shè)A、OC為x軸、y軸,過(guò)O點(diǎn)垂直平面ABCD的直線(xiàn)為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則A($\sqrt{3}$,0,0),B($\sqrt{3},2,0$),C(0,1,0),D(0,-1,0),P($\frac{\sqrt{3}}{3}$,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
設(shè)$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BP}$(0<λ<1),…(7分)
則$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}+λ\overrightarrow{BP}$=($\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$,1-2λ,$\frac{2\sqrt{6}}{3}λ$),
$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{BC}$=(-$\sqrt{3},-1,0$),
設(shè)平面CDM的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=(\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ)x+(1-2λ)y+\frac{2\sqrt{6}}{3}λz=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$,
取x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,0,$\frac{-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}λ}{4λ}$),…(10分)
設(shè)平面CBM的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=(\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ)x+(1-2λ)y+\frac{2\sqrt{6}}{3}λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$,
取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-$\sqrt{3},-\sqrt{2}$),…(12分)
∵平面CDM與平面CBM所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$,
∴|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2λ}}{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{24{λ}^{2}-24λ+18}}{4λ}}$=$\frac{2}{3}$,
解得$λ=\frac{1}{4}$或$λ=\frac{3}{4}$,∴$\frac{BM}{BP}$的值為$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明,考查線(xiàn)段的比值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.已知PA垂直于以AB為直徑的ΘO所在的平面,C是ΘO上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),PA=1,AB=2,當(dāng)三棱錐P-ABC取得最大體積時(shí),求:
(1)PC與AB所成角的大小;
(2)PA與面PCB所成角的大小.

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12.已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),a∈R
(1)若a=0時(shí),求f(x)在x=1處的切線(xiàn)
(2)若函數(shù)f(x)>0 對(duì)?x∈(1,+∞)恒成立.求a的取值范圍
(3)從編號(hào)為1到2015的2015個(gè)小球中,有放回地連續(xù)取16次小球 (每次取一球),記所取得的小球的號(hào)碼互不相同的概率為p,求證:$\frac{1}{p}$>e${\;}^{\frac{120}{2011}}$.

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9.已知向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$滿(mǎn)足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|≠0,且函數(shù)在f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}$$+(\overrightarrow a•\overrightarrow b)x$在R上有極值,則向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$的夾角的取值范圍是($\frac{π}{3}$,π).

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16.已知函數(shù)$f(x)=lnx-\frac{1}{2}x$.
(Ⅰ)求f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),$f(x)+\frac{a}{x}<0$恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),$\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{3ln3}+…+\frac{1}{nlnn}>\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$.

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13.已知y=f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是( 。
A.B.C.D.

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10.已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1,x∈R.
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)求函數(shù)的最大值,最小值以及取得最大最小值時(shí)的x的取值;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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11.函數(shù)y=x2-2x+1在閉區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值之和為( 。
A.2B.3C.4D.5

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