分析 (Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求出切線斜率和切點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),f(x)+$\frac{a}{x}$<0恒成立,等價(jià)于k<$\frac{1}{2}$x2-xlnx,構(gòu)造函數(shù),求最值,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)證明$\frac{1}{xlnx}$>$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$,把x=1,2,…n分別代入上面不等式,并相加得結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-$\frac{1}{2}$x,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$,
f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為$\frac{1}{2}$,
切點(diǎn)為(1,-$\frac{1}{2}$),
f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$(x-1),
即為x-2y-2=0;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),f(x)+$\frac{a}{x}$<0恒成立,等價(jià)于k<$\frac{1}{2}$x2-xlnx,
令g(x)=$\frac{1}{2}$x2-xlnx,則g′(x)=x-1-lnx.
令h(x)=x-1-lnx,則h′(x)=$\frac{x-1}{x}$.
當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故h(x)>h(1)=0,
從而,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,即函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故g(x)>g(1)=$\frac{1}{2}$.
∴k≤$\frac{1}{2}$;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)得,當(dāng)x>1時(shí),lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$<0,
可化為xlnx<$\frac{{x}^{2}-1}{2}$,
又xlnx>0,
從而,$\frac{1}{xlnx}$>$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$.
把x=2,…n分別代入上面不等式,并相加得,
$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$>1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2{n}^{2}+2n}$.
點(diǎn)評(píng) 本題屬導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題,考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查不等式的證明,有難度.
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