Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點M．
（1）求證：AM⊥PD
（2）求點D到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥PA，從而AB⊥平面PAD，由BM⊥PD，PD⊥平面ABM，AM⊥PD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點D到平面ACM的距離．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥PA，
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵BM⊥PD于點M，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM，
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），
D（0，2，0），M（0，1，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），
設(shè)平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴點D到平面ACM的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．