Question

20．如圖，在四棱錐A-BECD中，已知底面BECD是平行四邊形，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面BECD；
（Ⅱ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結OC，OA，證明AO⊥平面BECD，即可證明平面ABD⊥平面BECD；
（Ⅱ）利用等體積轉化，即可求點E到平面ACD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取AD中點O，連結OC，OA．
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=$\sqrt{3}$，
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²．
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BECD．
又 OA?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：設點E到平面ACD的距離為h．∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴$\frac{1}{3}$h•S_△ACD=$\frac{1}{3}$•AO•S_△CDE．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=$\sqrt{2}$，∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
而AO=1，${S_{△CDE}}={S_{△BCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，∴h=$\frac{AO•S△CDE}{S△ACD}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\;\frac{{\sqrt{7}}}{2}\;}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
∴點E到平面ACD的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直，平面與平面垂直的證明，考查點E到平面ACD的距離，正確計算體積是關鍵．