已知橢圓：，過點作圓的切線交橢圓于A，B兩點。
（1）求橢圓的焦點坐標(biāo)和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數(shù)，并求的最大值．

（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為，離心率為；（2）；（3）．當(dāng)時，，所以的最大值為2．

解析試題分析：（1）由已知及，，關(guān)系可得的值，從而得橢圓的焦點坐標(biāo)．由離心率計算公式可求得橢圓的離心率；（2）過點能作圓的切線，則此點在圓上或圓外，由此可得的取值范圍；（3）先考慮過點所作的圓的切線斜率不存在的情形，即先求和時的長；再考慮時的情形．設(shè)切線的方程為，代入橢圓方程消去得關(guān)于的一元二次方程：，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，利用韋達(dá)定理可得及的值，代入弦長公式，可得弦長的表達(dá)式，利用圓的切線性質(zhì)消去，得弦長關(guān)于的函數(shù)，最后利用均值不等式可求得的最大值．
試題解析：（1）由已知可得．所以橢圓的焦點坐標(biāo)為離心率為；                                 4分
（2）由題意知，，即；                    6分
（3）當(dāng)時，切線的方程為，點的坐標(biāo)為，此時．
當(dāng)時，同理可得                            8分
當(dāng)時，設(shè)切線的方程為，由；
設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，則；    10分
又由與圓                 11分
．
．，且當(dāng)時，，所以的最大值為2．                                      15分
考點：1．求橢圓離心率；2．圓的切線；．3．直線和橢圓的相交弦長的計算；4．均值不等式的應(yīng)用．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點為直線上的點，求直線的方程；
(Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在周長為定值的DDEC中,已知,動點C的運動軌跡為曲線G,且當(dāng)動點C運動時,有最小值．
（1）以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線G的方程;
（2）直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點,求|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓.過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求的值；
（II）如果，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直
線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)是拋物線上相異兩點，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

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