【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作平面，垂足為，連接，．證明在的垂直平分線上，則點在平面內(nèi)的射影在直線上，

（2）以點為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平行于的向量為軸建立空間直角坐標系．設(shè)正方形的邊長為，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）證明：過點A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.

因為△ACD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點G在CD的垂直平分線上.

又因為EF是CD的垂直平線，所以點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

另證：過點A作AG⊥EF，再證AG⊥CD，從而證得AG⊥平面BCDE，

即點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

（2）解：以G為坐標原點，GA所在直線為z軸，GF所在直線為y軸，過點G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標系.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，連接AF，

則 ，，

所以

設(shè)平面的一個法向量為，則，

令，得，又平面的一個法向量

所以，

.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A.的圖像關(guān)于點對稱B.的圖像關(guān)于直線對稱

C.的最大值為D.是周期函數(shù)

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【題目】如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“阿當數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當數(shù)列”，且，，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項為1的等差數(shù)列為“阿當數(shù)列”，且其前項和滿足？若存在，請求出的通項公式；若不存在，請說明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，且為“阿當數(shù)列”，，，當數(shù)列不是“阿當數(shù)列”時，試判斷數(shù)列是否為“阿當數(shù)列”，并說明理由.

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A.B.C.D.

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【題目】已知集合，若對于任意實數(shù)對，存在，使成立，則稱集合是“垂直對點集” .給出下列四個集合：

① ；

②；

③ ；

④.

其中是“垂直對點集”的序號是（ ）.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①對任意的恒有成立；②當時，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)僅一個零點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：

①線段長度的取值范圍是；

②存在點使得平面；

③存在點使得.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

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