Question

【題目】設函數f（x）=sin（2ωx+ ）（其中ω＞0），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標是 ．
（1）求y=f（x）的最小正周期及對稱軸；
（2）若x∈ ，函數 ﹣af（x）+1的最小值為0．求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，根據五點法作圖可得2ω + = ，求得ω= ；

所以函數y=f（x）=sin（x+ ）的最小正周期是T=2π；

令x+ = +kπ，k∈Z，

解得x= +kπ，k∈Z，

所以函數y=f（x）的對稱軸是x= +kπ，k∈Z

（2）解：由（1）可得函數f（x）=sin（x+ ），

在區(qū)間[﹣ ， ]上，x+ ∈[0， ]，

所以f（x）=sin（x+ ）∈[﹣ ，1]；

所以g（x）=sin2[（x+ ）+ ]﹣asin（x+ ）+1

=1﹣sin2（x+ ）﹣asin（x+ ）+1

=﹣ +2+ ；

當﹣ ≤﹣ ≤1時，﹣2≤a≤1，函數g（x）的最小值是g（x）min=2+ =0，無解；

當﹣ ＜﹣ 時，a＞1，函數g（x）的最小值是g（x）min=2﹣ ﹣a=0，解得a= ；

當﹣ ＞1時，a＜﹣2，函數g（x）的最小值是g（x）min=2﹣1﹣a=0，解得a=1（不合題意，舍去）；

綜上，函數g（x）取得最小值0時，a=

【解析】（1）由題意，根據五點法作圖求出ω的值，即可求函數y=f（x）的最小正周期；寫出函數y=f（x）的解析式，即可求出它的對稱軸；（2）求出函數f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的取值范圍，再化簡函數g（x），討論a的取值，求出函數g（x）取最小值0時a的值．