Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，如果$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)M（acosθ，bsinθ），由直角三角形的性質(zhì)，可得|OM|=c，利用勾股定理求得（acosθ）²+（bsinθ）²=c²，即可求得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{1+（sinθ）^{2}}}$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得圓離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（acosθ，bsinθ），（sinθ≠0）．
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，則|OM|=c．
∴（acosθ）²+（bsinθ）²=c²，
∵a²=b²+c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{1+（sinθ）^{2}}}$，
∵0＜|sinθ|≤1．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．