Question

9．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)；
其中真命題的序號(hào)為①②③（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 用x+$\frac{3}{2}$替換公式f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x）里的x，即可得出f（x）的周期；根據(jù)函數(shù)f（x）與f（x-$\frac{3}{4}$）的關(guān)系可得對(duì)稱中心；根據(jù)f（x-$\frac{3}{4}$）周期性和奇偶性得出f（x）的奇偶性；利用f（x）的奇偶性判斷單調(diào)性．

解答 解：對(duì)于①，∵f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（x）=f（x+3），
∴f（x）是周期為3的函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，∵函數(shù)y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，∴y=f（x-$\frac{3}{4}$）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
∵y=f（x-$\frac{3}{4}$）的函數(shù)圖象是由y=f（x）的圖象向右平移$\frac{3}{4}$個(gè)單位得到的，
∴y=f（x）的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，∵f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（x-$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$）=-f（x-$\frac{9}{4}$），即f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{9}{4}$），
又f（x）的周期為3，∴f（x-$\frac{9}{4}$）=f（x-$\frac{9}{4}$+3）=f（x+$\frac{3}{4}$），
∴f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（x+$\frac{3}{4}$），
又y=f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函數(shù)，∴f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（-x-$\frac{3}{4}$），
∴f（x+$\frac{3}{4}$）=f（-x-$\frac{3}{4}$），令x+$\frac{3}{4}$=t，則f（t）=f（-t），
∴f（t）是偶函數(shù)，即f（x）是偶函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，由③知f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的單調(diào)性相反，
∴f（x）在R上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)周期性、奇偶性判斷，函數(shù)圖象的平移變換，屬于中檔題．