Question

12．某學校在一次第二課堂活動中，特意設置了過關智力游戲，游戲共五關．規(guī)定第一關沒過者沒獎勵，過n（n∈N*）關者獎勵2^n-1件小獎品（獎品都一樣）．如圖是小明在10次過關游戲中過關數(shù)的條形圖，以此頻率估計概率．
（Ⅰ）估計小明在1次游戲中所得獎品數(shù)的期望值；
（II）估計小明在3次游戲中至少過兩關的平均次數(shù)；
（Ⅲ）估計小明在3次游戲中所得獎品超過30件的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設小明在1次游戲中所得獎品數(shù)為ξ，根據(jù)題意寫出ξ 的分布列，
計算期望值；
（Ⅱ）設小明在3次游戲中至少過兩關的次數(shù)為X，則X～B（3，0.7），
計算E（X）即可；
（Ⅲ）計算小明在3次游戲中所得獎品超過30件的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）設小明在1次游戲中所得獎品數(shù)為ξ，則ξ 的分布列為

ξ	0	1	2	4	8	16
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.1	0.1

------（2分）
ξ 的期望值為E（ξ ）=0×0.1+1×0.2+2×0.3+4×0.2+8×0.1+16×0.1=4；-----（4分）
（Ⅱ）小明在1次游戲中至少過兩關的概率為0.7，-------（5分）
設小明在3次游戲中至少過兩關的次數(shù)為X，可知X～B（3，0.7），
則X的平均次數(shù)E（X）=3×0.7=2.1；--------（7分）
（Ⅲ）小明在3次游戲中所得獎品超過30件含三類：
恰好一次ξ=16和兩次ξ=8，恰好二次ξ=16，恰好三次ξ=16，------（8分）
${C}_{3}^{1}$•P（ξ=16）•P（ξ=8）²=3×0.1×0.1²=0.003，-------（9分
${C}_{3}^{2}$•P（ξ=16）²•P（ξ≠16）=3×0.1²×（1-0.1）=0.027，-----（10分）
${C}_{3}^{3}$•P（ξ=16）³=0.1³=0.001；-------（11分）
所以小明在3次游戲中所得獎品超過30件的概率為P=0.003+0.027+0.001=0.031．------（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是綜合題．