Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的最值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最大值為1；（2）當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn)．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出極值，再求出端點(diǎn)值即可求解.

（2）由題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域分三種情況討論①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別求出函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，從而可判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）若，則，，

令，解得；

而，，，

故函數(shù)的最小值為，最大值為1．

（2）令，

因?yàn)?/span>，故，

令，故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

而，

①當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞減，

，，

故當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)，即，

即時(shí)，，

由零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)在內(nèi)有零點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，，

故當(dāng)，即時(shí)，，

由零點(diǎn)存在性定理，此時(shí)在內(nèi)有零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>在內(nèi)單調(diào)遞增，故僅有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)無零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

故，此時(shí)在內(nèi)無零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn)．