Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-2ax（其中a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若f（x）≤2恒成立，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²，且函數(shù)g（x）有極大值點(diǎn)x₀．求證：x₀f（x₀）+1+ax${\;}_{0}^{2}$＞0．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）由x＞0，得到$2a≥\frac{lnx-2}{x}$恒成立，令$φ（x）=\frac{lnx-2}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（3）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的極值得到a的表達(dá)式，令$h（x）=-\frac{x^3}{2}-\frac{x}{2}+xlnx+1$，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-4x，則$f'（x）=\frac{1}{x}-4$（x＞0），…（1分）
∴f（1）=-4，f'（1）=-3，…（2分）
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y-（-4）=-3×（x-1），
即3x+y+1=0．          …（3分）
（2）不等式f（x）≤2，即lnx-2ax≤2，∴2ax≥lnx-2，
∵x＞0，∴$2a≥\frac{lnx-2}{x}$恒成立，…（4分）
令$φ（x）=\frac{lnx-2}{x}$（x＞0），則$φ'（x）=\frac{3-lnx}{x^2}$，
當(dāng)0＜x＜e³時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞e³時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e³時(shí)，φ（x）取得極大值，也為最大值，
故$φ{(diào)（x）_{max}}=φ（{e^3}）=\frac{1}{e^3}$，…（5分）
由$2a≥\frac{1}{e^3}$，得$a≥\frac{1}{{2{e^3}}}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{{2{e^3}}}，+∞）$．                  …（6分）
（3）證明：由$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}=\frac{1}{2}{x^2}-2ax+lnx$，
得$g'（x）=x+\frac{1}{x}-2a=\frac{{{x^2}-2ax+1}}{x}$，…（7分）
①當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；…（8分）
②當(dāng)a＞1或a＜-1時(shí)，令g'（x）=0，設(shè)x²-2ax+1=0的兩根為x₀和x'，
∵x₀為函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，∴0＜x₀＜x'，
由x₀•x'=1，x₀+x'=2a＞0，知a＞1，0＜x₀＜1，
又由$g'（{x_0}）={x_0}+\frac{1}{x_0}-2a=0$，得$a=\frac{{{x_0}^2+1}}{{2{x_0}}}$，…（9分）
∵${x_0}f（{x_0}）+1+a{x_0}^2={x_0}ln{x_0}-\frac{{{x_0}^3+{x_0}}}{2}+1$（0＜x₀＜1），
令$h（x）=-\frac{x^3}{2}-\frac{x}{2}+xlnx+1$，x∈（0，1），則$h'（x）=-\frac{{3{x^2}}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，
令$μ（x）=-\frac{{3{x^2}}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，x∈（0，1），則$μ'（x）=-3x+\frac{1}{x}=\frac{{1-3{x^2}}}{x}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，μ'（x）＞0，當(dāng)$\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜x＜1$時(shí)，μ'（x）＜0，
∴$μ{（x）_{max}}=μ（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=ln\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜0$，…（11分）
∴h'（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1）=0，
∴${x_0}f（{x_0}）+1+a{x_0}^2＞0$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道綜合題．