Question

19．設函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在（-1，0）內無極值，求a的取值范圍；
（3）設n∈N^*，x＞0，求證：${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$．

Answer 1

分析 （1）當$a=\frac{1}{2}$時，f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）若f（x）在（-1，0）內無極值，則f（x）在（-1，0）上單調，又f'（x）=（x+1）e^x-2ax-1，由此利用分類討論思想及導數(shù)的性質能求出a的取值范圍．
（3）用數(shù)學歸納法能證明${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=x（{e^x}-1）-\frac{1}{2}{x^2}$
所以f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1）
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0；當x∈（-1，0）時，f'（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）單調遞增，在（-1，0）單調遞減． …（4分）
（2）若f（x）在（-1，0）內無極值，則f（x）在（-1，0）上單調，
又f'（x）=（x+1）e^x-2ax-1
①若f（x）在（-1，0）上遞減，則f'（x）≤0，對x∈（-1，0）恒成立，
于是有$2a≤\frac{{（x+1）{e^x}-1}}{x}={e^x}+\frac{{{e^x}-1}}{x}$，令$g（x）={e^x}+\frac{{{e^x}-1}}{x}，h（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，
下面證明h（x）在（-∞，0）上單調遞增：$h'（x）=\frac{{（x-1）{e^x}+1}}{x^2}$，令r（x）=（r-1）e^x+1，則r'（x）=（x-1）e^x+e^x=xe^x
當x＜0時，r'（x）＜0，r（x）單調遞減，r（x）＞r（0）=0，h'（x）＞0h（x）在（-∞，0）單調遞增．
當x∈（-1，0）時，由g（x）=e^x+h（x）是增函數(shù)，得g（x）＞g（-1）=1．
由2a≤g（x），得$2a≤1，a≤\frac{1}{2}$；
②若f（x）在（-1，0）上單調遞增，則f'（x）≥0，對x∈（-1，0）恒成立，
于是2a≥g（x），當x∈（-1，0）時，由e^x＞x+1得$h（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}＜1$，
從而增函數(shù)g（x）=e^x+h（x）＜2，這樣2a＞2，a＞1．綜上得$a∈（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$．…（8分）
證明：（3）用數(shù)學歸納法證明 ①當n=1時，e^x＞x+1，不等式成立；
②假設n=k時不等式成立，即${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}$，
當n=k+1時，令$ϕ（x）={e^x}-（1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}+\frac{{{x^{k+1}}}}{（k+1）!}），x＞0$
顯然ϕ（0）=0，由歸納假設，$ϕ'（x）={e^x}-（1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}）＞0$對x＞0成立，
所以ϕ（x）在（0，+∞）上單調遞增，當x＞0時，ϕ（x）＞ϕ（0）=0，即當n=k+1
時，不等式也成立．
綜合①②n∈N₊，x＞0時，${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$． …（12分）

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)性質、構造法、函數(shù)性質、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．