Question

1．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=lnx-x+1，若函數(shù)g（x）=f（x）+mx有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）∪（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
• B． $（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
• C． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$
• D． $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{ln2-1}{6}）$

Answer 1

分析 確定函數(shù)為偶函數(shù)則其周期為T(mén)=2，函數(shù)在x∈[1，2]為減函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，得出當(dāng)x＜0時(shí)，要使符合題意則$m∈（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，當(dāng)x＞0時(shí)，要使符合題意則$m∈（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$．即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（2-x）=f（x）可得圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且函數(shù)為偶函數(shù)則其周期為T(mén)=2，
又因?yàn)?f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)有f'（x）≤0，則函數(shù)在x∈[1，2]為減函數(shù)，
作出其函數(shù)圖象如圖所示：
    
其中${k_{OA}}=\frac{ln2-1}{6}，{k_{OB}}=\frac{ln2-1}{8}$，當(dāng)x＜0時(shí)，要使符合題意則$m∈（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，當(dāng)x＞0時(shí)，要使符合題意則$m∈（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）∪（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度大．