Question

13．已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)O，極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$得到曲線(xiàn)C′，若M（x，y）為曲線(xiàn)C′上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線(xiàn)l的最小距離．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，利用互化公式化為直角坐標(biāo)方程．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），相減消去參數(shù)t化為普通方程．
（2）曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線(xiàn)C的方程可得：4（x′）²+（y′）²=4，即得到曲線(xiàn)C′：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．設(shè)M（cosθ，2sinθ），點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|cosθ-2sinθ+3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}|sin（θ-φ）-3|}{\sqrt{2}}$，即可得出最小值．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4．
直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=x+3$\sqrt{5}$．
（2）曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線(xiàn)C的方程可得：4（x′）²+（y′）²=4，即得到曲線(xiàn)C′：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
若M（x，y）為曲線(xiàn)C′上任意一點(diǎn)，設(shè)M（cosθ，2sinθ），點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|cosθ-2sinθ+3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}|sin（θ-φ）-3|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{5}|1-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ-φ）=1時(shí)取等號(hào)．
因此最小距離為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的互化、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．