Question

4．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B，若S_△OAF=4S_△OBF，則直線AB的斜率為（　�。�

• A． ±$\frac{3}{5}$
• B． ±$\frac{4}{5}$
• C． ±$\frac{3}{4}$
• D． ±$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 據(jù)S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，求得-y₁=4y₂，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理求出斜率，即可求出tanα．

解答 解：根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，得$（\frac{p}{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）=4（{x}_{2}-\frac{p}{2}，{y}_{2}）$，
故-y₁=4y₂，即$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=-4$．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消元得ky²-2py-kp²=0．
故y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=-p2．則$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=-\frac{9}{4}$，
$-\frac{4}{{k}^{2}}=-\frac{9}{4}$，解得k=$±\frac{4}{3}$，即直線AB的斜率為$±\frac{4}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)，直線和拋物線的綜合問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．