Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫(xiě)出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線C的方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)曲線C上的點(diǎn)為（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）曲線C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)θ，得曲線C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
即$ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$，
整理，得ρcosθ+ρsinθ=4，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
（2）設(shè)曲線C上的點(diǎn)為（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離：
$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（θ+\frac{π}{3}）-4}|}}{{\sqrt{2}}}≤3\sqrt{2}$．
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值${d_{max}}=3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值的求法，考查極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．