Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，總成本為G(x)(萬(wàn)元)，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足：R(x)＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求下列問(wèn)題．

(1) 要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

(2) 工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？

Answer 1

解：依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則

f(x)＝

(1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，

當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式－0.4x²＋3.2x－2.8>0，

即x²－8x＋7<0，得1<x<7，

∴1<x≤5.

當(dāng)x>5時(shí)，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，

∴5<x<8.2.

綜上所述，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1<x<8.2，即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi)．

(2)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－0.4(x－4)²＋3.6，

故當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值3.6；

而當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<8.2－5＝3.2.

所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．