Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等邊三角形，且AA₁⊥平面ABC，D為AB的中點．
（Ⅰ） 求證：直線BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 若AB=BB₁=2，E是BB₁的中點，求三棱錐A₁-CDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁，交A₁C于點F，由三角形中位線定理可得BC₁∥DF，再由線面平行的判定可得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）直接利用等積法求三棱錐A₁-CDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC₁，交A₁C于點F，
則F為AC₁的中點，又D為AB的中點，
∴BC₁∥DF，
又BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）解：三棱錐A₁-CDE的體積${V_{{A_1}-CDE}}={V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}DE}}•h$．
其中三棱錐A₁-CDE的高h等于點C到平面ABB₁A₁的距離，可知$h=CD=\sqrt{3}$．
又${S_{△{A_1}DE}}=2×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$．
∴${V_{{A_1}-CDE}}={V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}DE}}•h=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．