Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2）
• B． （0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （0，e）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和最值關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：f（x）=0，即$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$=0，
∵x≠0，
∴k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=2，
當(dāng)x＞2或x＜0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，即g（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
且當(dāng)x＜0，時(shí)，f（x）∈（0，+∞），
∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，
∴0＜k＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．